Teste qui-quadrado (χ²)

O teste qui-quadrado (χ²) verifica se as contagens observadas em cada categoria se afastam das que você esperaria por acaso. Em pesquisas, ele responde a duas perguntas: duas respostas categóricas estão relacionadas (teste de independência em uma tabela cruzada) e uma resposta segue uma distribuição esperada (teste de aderência).

Karl Pearson propôs a estatística em 1900, por isso ela também aparece como qui-quadrado de Pearson. O teste trabalha com contagens de pessoas e combina com perguntas de escolha única, como tipo de plano, região, faixa etária ou "sim / não / não sei".

As duas versões do teste

Como calcular o qui-quadrado

As duas versões usam a mesma fórmula, em que O é a contagem observada em uma célula e E é a esperada:

χ² = Σ (O − E)² / E

No teste de independência, a contagem esperada de cada célula é E = total da linha × total da coluna / total geral, e os graus de liberdade são gl = (linhas − 1) × (colunas − 1). No teste de aderência, E é o tamanho da amostra vezes a proporção esperada, e gl = número de categorias − 1.

Exemplo: teste de independência

200 clientes responderam "Você nos recomendaria?". Você separa as respostas por plano:

As contagens esperadas são 78 e 42 no plano gratuito, 52 e 28 no pago (por exemplo, 120 × 130 / 200 = 78). Os quatro termos somam 64/78 + 64/42 + 64/52 + 64/28 = 0,82 + 1,52 + 1,23 + 2,29, então χ² ≈ 5,86 com gl = 1. O valor crítico para α = 0,05 é 3,84, e o valor-p fica perto de 0,015. Recomendação e plano estão relacionados: quem paga diz "sim" com mais frequência (75% contra 58%).

Exemplo: teste de aderência

Você espera que os 300 respondentes se dividam em 50/30/20 entre três regiões, ou seja, E = 150, 90 e 60. Vieram 165, 80 e 55. χ² = 225/150 + 100/90 + 25/60 ≈ 3,03 com gl = 2. O valor crítico é 5,99 e p ≈ 0,22, então a amostra não difere de forma significativa da divisão esperada.

Para conferir a sua tabela, use a calculadora de qui-quadrado: cole contagens de uma tabela de 2×2 até 5×5 e receba χ², graus de liberdade, valor-p e o V de Cramér.

Como interpretar o resultado

• p < 0,05 (ou o α que você escolheu): as variáveis estão associadas, ou a distribuição difere da esperada. Veja em significância estatística o que esse limite diz e o que ele não diz.
• O valor-p não mede a força da relação. Para isso, use o V de Cramér = √(χ² / (n × (k − 1))), em que k é o menor entre o número de linhas e de colunas. No exemplo, V = √(5,86 / 200) ≈ 0,17, uma associação fraca.
• O qui-quadrado não mostra onde está a diferença. Compare célula a célula o observado com o esperado, ou olhe os resíduos padronizados.
• Associação não é causalidade. Talvez quem paga recomende mais porque recebe mais valor, ou talvez os clientes mais satisfeitos tenham sido os que decidiram pagar.

Pressupostos e erros comuns

• Use contagens, nunca porcentagens ou médias. Com porcentagens, o χ² passa a depender da base escolhida.
• Cada respondente entra em uma única célula. Perguntas de múltipla escolha, em que a pessoa marca várias opções, quebram essa regra. Analise cada opção como uma variável sim/não separada.
• As contagens esperadas não podem ser pequenas demais. Regra de Cochran (1954): nenhuma esperada abaixo de 1 e no máximo 20% das células abaixo de 5. Se a tabela não cumprir, junte categorias ou use o teste exato de Fisher em tabelas 2×2.
• Correção de Yates. Alguns pacotes estatísticos aplicam essa correção por padrão em tabelas 2×2, o que gera um χ² um pouco menor. Informe qual versão você está reportando.
• Muitas tabelas, muitos alarmes falsos. Se você testar 20 tabelas cruzadas com α = 0,05, cerca de uma pode dar significativa por acaso. Defina antes quais comparações importam.
• Amostras grandes acusam diferenças mínimas. Com milhares de respostas, uma diferença de 2 pontos pode ser significativa. Leia sempre o tamanho do efeito junto com o valor-p.
• Categorias ordenadas perdem a ordem. O qui-quadrado trata "raramente, às vezes, com frequência" como rótulos sem ordem. Para respostas ordinais, um teste de postos ou de tendência pode ser mais sensível. Veja teste de hipóteses para escolher.

Como aplicar o teste nos dados de uma pesquisa

1. Escreva a hipótese antes de ir a campo, por exemplo "a proporção de promotores muda conforme o plano".
2. Meça as duas variáveis com perguntas fechadas de escolha única, com categorias que não se sobreponham.
3. Planeje o tamanho da amostra para que cada célula tenha gente suficiente.
4. Conte as respostas por combinação em uma planilha ou em um pacote estatístico. O SurveyNinja exporta as respostas em CSV, XLSX e SPSS em todos os planos, inclusive no gratuito.
5. Cole a tabela na calculadora e reporte juntos χ², gl, p e o V de Cramér.

Para ver passo a passo como montar tabelas cruzadas com respostas de pesquisa, leia o guia de tabulação cruzada em pesquisas.