Prueba de chi cuadrado (χ²)

La prueba de chi cuadrado (χ²) verifica si las frecuencias que observaste en cada categoría se alejan de las que esperarías por azar. En encuestas responde dos preguntas: si dos respuestas categóricas están relacionadas (prueba de independencia sobre una tabulación cruzada) y si una respuesta sigue una distribución esperada (prueba de bondad de ajuste).

Karl Pearson propuso el estadístico en 1900, por eso también se llama chi cuadrado de Pearson. Trabaja con conteos de personas, así que encaja con preguntas de opción única como tipo de plan, región, rango de edad o «sí / no / no sé».

Las dos versiones de la prueba

Cómo se calcula el chi cuadrado

Ambas versiones usan la misma fórmula, donde O es la frecuencia observada en una celda y E la esperada:

χ² = Σ (O − E)² / E

En la prueba de independencia, la frecuencia esperada de cada celda es E = total de la fila × total de la columna / total general, y los grados de libertad son gl = (filas − 1) × (columnas − 1). En la bondad de ajuste, E es el tamaño de la muestra por la proporción esperada, y gl = número de categorías − 1.

Ejemplo: prueba de independencia

200 clientes respondieron «¿Nos recomendarías?». Los separas por plan:

Las frecuencias esperadas son 78 y 42 para el plan gratuito, y 52 y 28 para el de pago (por ejemplo, 120 × 130 / 200 = 78). Los cuatro términos suman 64/78 + 64/42 + 64/52 + 64/28 = 0,82 + 1,52 + 1,23 + 2,29, así que χ² ≈ 5,86 con gl = 1. El valor crítico con α = 0,05 es 3,84 y el valor p ronda 0,015. La recomendación y el plan están relacionados: quienes pagan dicen «sí» con más frecuencia (75 % frente a 58 %).

Ejemplo: bondad de ajuste

Esperas que tus 300 encuestados se repartan 50/30/20 entre tres regiones, es decir, E = 150, 90 y 60. Obtuviste 165, 80 y 55. χ² = 225/150 + 100/90 + 25/60 ≈ 3,03 con gl = 2. El valor crítico es 5,99 y p ≈ 0,22: la muestra no se aleja de forma significativa del reparto esperado.

Puedes revisar tu propia tabla con la calculadora de chi cuadrado: pega los conteos de una tabla de 2×2 hasta 5×5 y obtienes χ², los grados de libertad, el valor p y la V de Cramér.

Cómo leer el resultado

• p < 0,05 (o el α que elijas): las variables están asociadas, o la distribución difiere de la esperada. En significancia estadística verás qué dice y qué no dice este umbral.
• El valor p no mide la fuerza de la relación. Para eso usa la V de Cramér = √(χ² / (n × (k − 1))), donde k es el menor entre el número de filas y de columnas. En el ejemplo, V = √(5,86 / 200) ≈ 0,17, una asociación débil.
• El chi cuadrado no indica dónde está la diferencia. Compara celda por celda lo observado con lo esperado, o revisa los residuos estandarizados.
• Asociación no es causalidad. Quizá los clientes de pago recomiendan más porque obtienen más valor, o quizá los más contentos fueron los que decidieron pagar.

Supuestos y errores frecuentes

• Usa conteos, no porcentajes ni promedios. Con porcentajes, el χ² depende de la base que elegiste.
• Cada persona cae en una sola celda. Las preguntas de opción múltiple, donde se marcan varias respuestas, rompen esta regla. Analiza cada opción como una variable sí/no aparte.
• Las frecuencias esperadas no pueden ser muy pequeñas. Regla de Cochran (1954): ninguna esperada menor que 1 y no más del 20 % de las celdas por debajo de 5. Si tu tabla no cumple, une categorías o usa la prueba exacta de Fisher en tablas de 2×2.
• Corrección de Yates. Algunos programas estadísticos la aplican por defecto en tablas de 2×2 y dan un χ² algo menor. Indica qué versión reportas.
• Muchas tablas, muchas falsas alarmas. Si pruebas 20 tablas cruzadas con α = 0,05, alrededor de una puede salir significativa por azar. Define antes qué comparaciones importan.
• Las muestras grandes detectan diferencias mínimas. Con miles de respuestas, una brecha de 2 puntos puede ser significativa. Lee siempre el tamaño del efecto junto al valor p.
• Las categorías ordenadas pierden su orden. El chi cuadrado trata «rara vez, a veces, seguido» como etiquetas sin orden. Para respuestas ordinales, una prueba de rangos o de tendencia puede ser más sensible. Consulta prueba de hipótesis para elegir.

Cómo aplicar la prueba con datos de una encuesta

1. Escribe la hipótesis antes del trabajo de campo, por ejemplo «la proporción de promotores cambia según el plan».
2. Pregunta ambas variables como preguntas cerradas de opción única, con categorías que no se superpongan.
3. Planifica el tamaño de la muestra para que cada celda tenga suficientes personas.
4. Cuenta las respuestas por combinación en una hoja de cálculo o en un programa estadístico. SurveyNinja exporta las respuestas a CSV, XLSX y SPSS en todos los planes, incluido el gratuito.
5. Pega la tabla en la calculadora y reporta juntos χ², gl, p y la V de Cramér.

Si quieres ver paso a paso cómo armar tablas cruzadas con respuestas de encuestas, lee la guía de tabulación cruzada en encuestas.